$n$ 維球的體積與表面積
介紹高維球體的體積與表面積性質：面積與體積的公式、互換公式與遞迴關係。
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封面圖由 GeoGebra 繪製的 3 球形。
引言
這篇文章要介紹高維球體的體積與表面積性質。給定半徑為 $r$ 的 $n$ 維球體，其主要結論為：
體積 (volumn) 與表面積 (surface area) 分別為
$$ \begin{align*} V_n (r) & = \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} r^n \\ S_n (r) & = \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} n r^{n - 1} \end{align*} $$體積與表面積互換公式
$$ \begin{align*} V_n (r) & = \int_0^R S_n (R) dR && = \frac{r}{n} S_n (r) \\ S_n (r) & = \frac{d}{dr} V_n (r) && = \frac{n}{r} V_n (r) \end{align*} $$體積遞迴關係
$$ \begin{align*} V_n (r) & = V_{n - 1} (r) \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \end{align*} $$尺度關係
$$ \begin{align*} V_n (r) & = r^n V_n (1) \\ S_n (r) & = r^{n - 1} S_n (1) \end{align*} $$
| 維度 $n$ | 體積 $V_n (r)$ | 表面積 $S_n (r)$ |
|---|---|---|
| $1$ | $2 r$ | |
| $2$ | $\pi r^2$ | $2 \pi r$ |
| $3$ | $\frac{4}{3} \pi r^3$ | $4 \pi r^2$ |
| $4$ | $\frac{1}{2} \pi^2 r^4$ | $2 \pi^2 r^3$ |
| $5$ | $\frac{8}{15} \pi^2 r^5$ | $\frac{8}{3} \pi^2 r^4$ |
| $6$ | $\frac{1}{6} \pi^3 r^6$ | $\pi^3 r^5$ |
| $7$ | $\frac{16}{105} \pi^3 r^7$ | $\frac{16}{15} \pi^3 r^6$ |
體積
定義
首先定義半徑 $r$ 的 $n$ 維球 ($n$-ball) 為「與原點的距離小於 $r$ 的所有點集合」
$$ \begin{align*} B_n (r) & = \{ \boldsymbol x \in \mathbb R^n : \| \boldsymbol x \| \leq r \} \end{align*} $$其中 $\| \boldsymbol x \| = \left( \sum_{i = 1}^{n} x_i^2 \right)^{1/2}$ 為歐式距離。我們關注的體積 (volumn) 就是這個集合的測度：
$$ \begin{align*} V_n (r) = \int_{B_n (r)} d \boldsymbol x \end{align*} $$尺度關係
我們第一個要證明的是尺度關係，也就是半徑伸縮 $r$ 倍後，其體積的變化滿足
$$ \begin{align*} V_n (r) = r^n V_n (1) \end{align*} $$其證明也僅需一個簡單的變數變換
$$ \begin{align*} V_n (r) & = \int_{B_n (r)} d \boldsymbol x \\ & = \int_{ \left\lbrace (x_1, \cdots, x_n) \in \mathbb R^n : \left( \sum_{i = 1}^{n} x_i^2 \right)^{1/2} \leq r \right\rbrace } d x_1 d x_2 \cdots d x_n \\ & = r^n \int_{ \left\lbrace (z_1, \cdots, z_n) \in \mathbb R^n : \left( \sum_{i = 1}^{n} z_i^2 \right)^{1/2} \leq 1 \right\rbrace }d z_1 d z_2 \cdots d z_n && (z_i = x_i / r) \\ & = r^n \int_{ B_n (1) } d \boldsymbol z \\ & = r^n V_n (1) \end{align*} $$有了這項工具後，任意半徑 $r$ 的體積 $V_n (r)$ 都可以藉由此公式找出與 $V_n (1)$ 的關係，因此後續僅需考慮 $V_n (1)$ 的案例。
體積遞迴關係
在這段我們會利用遞迴關係找出體積的通式，因此得回答
- $V_1 (1)$ 是多少？
- $V_n (1)$ 與 $V_{n - 1} (1)$ 的關係是什麼？
考慮 $n = 1$ 的特例，1 維球其實就是線段。
$$ \begin{align*} B_1 (1) = \{ \boldsymbol x \in \mathbb R^1 : \| \boldsymbol x \| \leq 1 \} = [-1, 1] \end{align*} $$因此其體積就是 $2$。
$$ \begin{align*} V_1 (1) = \int_{B_1 (1)} d \boldsymbol x = \int_{[-1, 1]} d x_1 = 2 \end{align*} $$再來考慮 $V_n (1)$ 的案例，「半徑 $1$ 的 $n$ 維球」可以視為是「半徑 $\left( 1 - k^2 \right)^{1/2}$ 的 $n - 1$ 維球的聯集，其中 $k \in [-1, 1]$」。
$$ \begin{align*} B_n (1) & = \left\lbrace (x_1, \cdots, x_{n - 1}, x_n) : \left( \sum_{i = 1}^{n} x_i^2 \right)^{1/2} \leq 1 \right\rbrace \\ & = \bigcup_{k \in [-1 ,1]} \left\lbrace (x_1, \cdots, x_{n - 1}, k) : \left( \sum_{i = 1}^{n - 1} x_i^2 \right)^{1/2} \leq (1 - k^2)^{1/2} \right\rbrace \\ & = \bigcup_{k \in [-1 ,1]} B_{n - 1} \left( (1 - k^2)^{1/2} \right) \times \{ k \} \end{align*} $$接著我們找到 $n$ 維與 $n - 1$ 維的面積遞迴關係。
$$ \begin{align*} V_n (1) & = \int_{B_n (1)} d \boldsymbol x \\ & = \int_{[-1, 1]} \int_{ B_{n - 1} \left( (1 - k^2)^{1/2} \right) } d \boldsymbol x d k \\ & = \int_{[-1, 1]} V_{n - 1} \left( (1 - k^2)^{1/2} \right) d k \\ & = \int_{[-1, 1]} (1 - k^2)^{(n - 1) / 2} V_{n - 1} (1) d k \\ & = V_{n - 1} (1) \int_{[-1, 1]} (1 - k^2)^{(n - 1) / 2} d k \end{align*} $$其中的積分可以用 beta function 與 gamma function 表達。
$$ \begin{align*} \int_{-1}^{1} (1 - k^2)^{(n - 1) / 2} d k & = 2 \int_{0}^{1} (1 - k^2)^{(n - 1) / 2} d k && (\text{even function}) \\ & = \int_{0}^{1} (1 - u)^{(n - 1) / 2} u^{-1/2} d u && (u = k^2) \\ & = B \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{2} \right) && (\text{beta function}) \\ & = \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} && (\text{gamma function}) \\ & = \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} && (\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}) \end{align*} $$帶回原式後得出遞迴關係。
$$ \begin{align*} V_n (1) & = V_{n - 1} (1) \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \right] \end{align*} $$解出該遞迴得到 $V_n (1)$ 的通式。
$$ \begin{align*} V_n (1) & = V_{n - 1} (1) \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \right] \\ & = V_{n - 2} (1) \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \right] \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 0}{2})}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})} \right] \\ & = \vdots \\ & = V_1 (1) \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \right] \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n + 0}{2})}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})} \right] \cdots \left[ \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{4}{2})} \right] \\ & = V_1 (1) \pi^{(n - 1) / 2} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \frac{\Gamma(\frac{n + 0}{2})}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})} \cdots \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{4}{2})} \\ & = V_1 (1) \pi^{(n - 1) / 2} \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{n + 2}{2})} \\ & = 2 \pi^{(n - 1) / 2} \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} \\ & = \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} \end{align*} $$合併尺度關係與遞迴的通式，得出半徑 $r$ 的 $n$ 維球面積為：
$$ \begin{align*} V_n (r) = r^n V_n (1) = r^n \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} \end{align*} $$表面積
體積與表面積考慮的問題僅有一線之隔，表面積測度的集合僅考慮邊界 (boundary)，也就是：
$$ \begin{align*} C_n (r) & = \{ \boldsymbol x \in \mathbb R^n : \| \boldsymbol x \| = r \} \end{align*} $$體積測度的集合就是邊界的聯集。
$$ \begin{align*} B_n (r) & = \{ \boldsymbol x \in \mathbb R^n : \| \boldsymbol x \| \leq r \} \\ & = \bigcup_{R \in [0, r]} \{ \boldsymbol x \in \mathbb R^n : \| \boldsymbol x \| = R \} \\ & = \bigcup_{R \in [0, r]} C_n (R) \end{align*} $$因此得出體積為表面積的積分
$$ \begin{align*} V_n (r) & = \int_{B_n (r) } d \boldsymbol x \\ & = \int_{[0, r]} \int_{C_n (R)} d \boldsymbol x dR \\ & = \int_{0}^{r} S_n (R) d R \end{align*} $$其反導函數得
$$ \begin{align*} S_n (r) = \frac{d}{dr} V_n (r) = \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} n r^{n - 1} \end{align*} $$