$n$ 維球體積與表面積
證明 $n$ 維球體積與表面積公式。
封面圖由 GeoGebra 繪製而成。
球定義
首先，對於簡單的 2 維單位圓，其點滿足 $x^2 + y^2 = 1$。拓展至 $n$ 維球邊界，則是蒐集所有與圓心距離為 $r$ 的點，表示為：
$$ \begin{align*} B (n, r) = \{ (\contia{x}{n}) | x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = r^2 \} \end{align*} $$或是考慮實心球，即所有與圓心距離小於等於 $r$ 的點，表示為：
$$ \begin{align*} C (n, r) = \{ (\contia{x}{n}) | x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \leq r^2 \} \end{align*} $$令 $A (n, r)$ 表示半徑為 $r$ 的 $n$ 維球表面積 (surface area)，令 $V (n, r)$ 表示半徑為 $r$ 的 $n$ 維球體積 (volume)。其表面積定義為
$$ \begin{align*} A (n, r) & = \int_{B (n, r)} dx, \\ V (n, r) & = \int_{C (n, r)} dx \end{align*} $$球性質
表面積與體積的互換公式
$$ \begin{align*} V (n, r) & = \int_0^r A (n, R) dR & = \frac{r}{n} A (n, r) \\ A (n, r) & = \frac{d}{dr} V (n, r) & = \frac{n}{r} V (n, r) \end{align*} $$表面積與體積的公式解
$$ \begin{align*} V (n, r) & = \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma (\frac{n}{2} + 1)} r^n \\ A (n, r) & = \frac{2 \pi^{n / 2}}{\Gamma (\frac{n}{2})} r^{n - 1} \end{align*} $$半徑改變的公式解
$$ \begin{align*} V (n, r) & = [V (n, 1)]^n \\ A (n, r) & = [A (n, 1)]^{n - 1} \end{align*} $$1 維球
根據上述公式能看出，1 維度的線段 $(-r, r) = \{ x | - r \leq x \leq r \}$ 其實滿足球定義，其並非傳統意義上的球，但仍有簡單的直觀的"體積"為 $2R$，與 $0$ 表面積，即
$$ \begin{align*} A (1, r) & = \int_{\{-r, r\}} 1 dx = 0, \\ V (1, r) & = \int_{-r}^{r} 1 dx = 2r \end{align*} $$2 維球
2 維球表面積
直角坐標參數式
首先考慮 $\{ (x_1, x_2) | x_1^2 + x_2^2 = r^2 \}$。以參數式表達後，能看出其實決定了 $x_1$ 之後，$x_2$ 僅剩兩種可能，即
$$ \begin{align*} \begin{cases} x_1 (t) = t, \\ x_2 (t) = \pm \sqrt{r^2 - t^2}, \end{cases} \quad t \in [-r, r]. \end{align*} $$先考慮正方向 $x_2 (t) = \sqrt{r^2 - t^2}$。透過參數式轉換，計算曲面長度為
$$ \begin{align*} & \, \int_{-r}^{r} \sqrt{ \left( \frac{dx_1}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dx_2}{dt} \right)^2 } dt \\ = & \, \int_{-r}^{r} \sqrt{ 1 + \left( - \frac{t}{\sqrt{r^2 - t^2}} \right)^2 } dt \\ = & \, \int_{-r}^{r} \frac{r^2}{\sqrt{r^2 - t^2}} dt \\ = & \, r \arcsin \left( \frac{x}{r} \middle) \right|_{t = -r}^{r} \\ = & \, r \left( \frac{\pi}{2} - \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) \\ = & \, \pi r. \end{align*} $$最後考慮負方向 $x_2 (t) = -\sqrt{r^2 - t^2}$，其曲面長度也同為 $\pi r$，故
$$ \begin{align*} A (2, r) = 2 \pi r. \end{align*} $$極坐標參數式
除直角坐標外，還能考慮極坐標，其在計算上有更佳優秀的效果
$$ \begin{align*} \begin{cases} x_1 (t) = r \cos (t), \\ x_2 (t) = r \sin (t), \end{cases} \quad t \in [0, 2 \pi]. \end{align*} $$則
$$ \begin{align*} A (2, r) & = \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx_1}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dx_2}{dt} \right)^2 } dt \\ & = \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ (-r \sin t)^2 + (r \cos t)^2 } dt \\ & = \int_{0}^{2 \pi} r dt \\ & = 2 \pi r. \end{align*} $$2 維球體積
表面積考慮半徑固定為 $r$，而體積則是考慮半徑由 $0$ 至 $r$ 的表面積累加，表示為
$$ \begin{align*} V (2, r) & = \int_0^{r} \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx_1}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dx_2}{dt} \right)^2 } dt dR \\ & = \int_0^{r} A (2, R) dR \\ & = \int_{0}^{r} 2 \pi R dR \\ & = \pi R^2 |_{R = 0}^{r} \\ & = \pi r^2. \end{align*} $$3 維球
$$ \begin{align*} V (3, r) & = \int_{r}^{r} V (2, \sqrt{r^2 - x^2}) dx \\ & = \int_{r}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx \\ & = \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*} $$$$ \begin{align*} V (4, r) & = \int_{r}^{r} V (3, \sqrt{r^2 - x^2}) dx \\ & = \int_{r}^{r} \frac{4}{3} \pi (r^2 - x^2)^{3/2} dx \\ & = \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \end{align*} $$後記
起初在考慮 3 維球表面積時，我的直覺推論是
$$ \begin{align*} A (3, r) & = A (\{ (x_1, x_2, x_3) | x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2 \}) \\ & = A \left( \bigcup_{k = -r}^{r} \{ (x_1, x_2, x_3) | x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = r^2, x_3 = k \} \right) \\ & = A \left( \bigcup_{k = -r}^{r} \{ (x_1, x_2, x_3) | x_1^2 + x_2^2 = r^2 - k^2, x_3 = k \} \right) \\ & = \int_{-r}^{r} A \left( \{ (x_1, x_2, x_3) | x_1^2 + x_2^2 = r^2 - k^2, x_3 = k \} \right) dk \\ & = \int_{-r}^{r} A (2, \sqrt{r^2 - k^2}) dk \\ & = \int_{-r}^{r} 2 \pi \sqrt{r^2 - k^2} dk \\ & = \pi^2 r^2. \end{align*} $$但正確的 $A (3, r)$ 卻是 $4 \pi r^2$，其關鍵因素在於少了維度變換。
https://www.youtube.com/watch?v=dX5WuuUfxqE
因為切的東西是曲面，而非平面