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機率解析：30 年內發生地震機率為 80%

數學, 機率論
日本在發生規模 6.6 地震後，專家評估 30 年內發生巨大地震機率提升至 80%，如何從機率的角度評估這件事。
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簡介

封面圖片來自유유유 的礦場的舊玉里大橋，是兩個板塊的交界處。

CNA 在新聞中描述日本南海海槽30年內發生巨大地震機率升至約80%，這在機率上是什麼意思？而也會同樣關心的幾個問題：

  • 明年發生地震機率多高？
  • 地震發生的期望值為幾年？
  • tt 年內發生地震機率多高？
  • tt 年內發生 nn 次地震機率有多高？
  • 已知 tt 年內發生 nn 次地震，那 TT 年內發生 NN 次地震機率有多高？

機率分佈

Geometric Distribution

若將每次地震視為獨立事件，則第 kk 年發生地震可以理解為，每年擲一次正面率 pp 的硬幣，正面即表示發生地震，那第 kk 次擲出第一次正面的機率即可以表示為連續擲出反面 k−1k - 1 次後，最後一次為擲出正面，即：

P(X=k)=(1−p)k−1p \begin{align*} P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \end{align*}

在 kk 年內發生地震則可以被理解為，每年發生地震機率的總和，即：

P(X≤k)=∑x=0kP(X=x)=∑x=0k(1−p)x−1p=p⋅1−(1−p)k1−(1−p)=1−(1−p)k \begin{align*} P (X \leq k) & = \sum_{x = 0}^{k} P (X = x) \\ & = \sum_{x = 0}^{k} (1 - p)^{x - 1} p \\ & = p \cdot \frac{1 - (1 - p)^{k}}{1 - (1 - p)} \\ & = 1 - (1 - p)^{k} \end{align*}

這樣的分佈稱為幾何分佈 (geometric distribution)，寫成 X∼Geom(p)X \sim \text{Geom} (p)，已經能回答一部份的問題，但這邊是以擲硬幣的次數作為描述，即限定 kk 為整數，若想更廣義的描述如 2.5 年內發生地震的機率，則會需要更廣泛的分佈。

Exponential Distribution

放寬 kk 為整數的限制，考慮非負數的範疇，即以 x∈[0,∞)x \in \bb [0, \infty) 取代 k∈Nk \in \bb N，會發現

F(x;p)=1−(1−p)x \begin{align*} F (x; p) = 1 - (1 - p)^x \end{align*}

仍為一個合理的累積分布函數 (cumulative distribution function, CDF)，對其微分獲取機率密度函數 (probability density function, pdf)：

f(x;p)=−ln⁡(1−p)eln⁡(1−p)x \begin{align*} f (x; p) & = -\ln (1 - p) e^{\ln (1 - p) x} \end{align*}

若以 λ=−ln⁡(1−p)\lambda = - \ln (1 - p) 取代，即可獲得：

f(x;p)=λe−λxF(x;p)=1−e−λx \begin{align*} f (x; p) & = \lambda e^{- \lambda x} \\ F (x; p) & = 1 - e^{- \lambda x} \end{align*}

這樣的分佈稱為指數分佈 (exponential distribution)，寫成 X∼Exp(λ)X \sim \text{Exp} (\lambda)，與幾何分佈的關係為：

Geom(p)=Exp(−ln⁡(1−p))Exp(λ)=Geom(1−e−λ) \begin{align*} \text{Geom} (p) & = \text{Exp} (- \ln (1 - p)) \\ \text{Exp} (\lambda) & = \text{Geom} (1 - e^{-\lambda}) \end{align*}

透過這樣的轉換，我們足以描述發生時間為實數的問題，例如 2.5 年內發生地震的機率。

Gamma Distribution

最後考慮一種情況，tt 年內發生 nn 個地震的機率。已知可用 X1∼Exp(λ)X_1 \sim \text{Exp} (\lambda) 表述第一組地震的時間間隔分佈，並以 P(X1≤t)P (X_1 \leq t) 表達在時間 tt 內發生的機率。

若以 X1,X2,⋯ ,Xn∼i.i.d.Exp(λ)\contia{X}{n} \iid \text{Exp} (\lambda) 表述第 1,2,⋯ ,n\conti{n} 組地震的時間間隔分佈，則tt 年內發生 nn 個地震的機率可以被描述成：

P(∑i=1nXi≤t) \begin{align*} P \left( \sum_{i = 1}^{n} X_i \leq t \right) \end{align*}

要解答這問題，得將 exponential distribution 再推廣到更廣泛的分佈 Gamma distribution，關係為 Exp(λ)=Gamma(1,λ)\text{Exp} (\lambda) = \text{Gamma} (1, \lambda) 與

Y=∑i=1nXi∼Gamma(n,λ) \begin{align*} Y = \sum_{i = 1}^{n} X_i \sim \text{Gamma} (n, \lambda) \end{align*}

使得原始問題可以被描述為

P(Y≤t)=FY(t;n,λ)=γ(n,λt)Γ(n) \begin{align*} P \left( Y \leq t \right) = F_Y (t; n, \lambda) = \frac{\gamma (n, \lambda t)}{\Gamma (n)} \end{align*}

其中 Γ\Gamma 與 γ\gamma 分別為 gamma function 與 incomplete gamma function。

問題解析

明年發生地震機率多高？

從 kk 年內發生地震的機率反推可得 Geom\text{Geom} 的參數 pp 為：

p=1−[1−P(X≤k)]1/k \begin{align*} p = 1 - \left[ 1 - P (X \leq k) \right]^{1 / k} \end{align*}

已知 30 年內發生地震機率為 80%，即 P(X≤k)=0.8P (X \leq k) = 0.8 與 k=30k = 30， 因此 p=0.0522p = 0.0522。而明年就發生地震的機率即為設定 k=1k = 1，計算得：

P(X=1)=p≈0.0522 \begin{align*} P (X = 1) = p \approx 0.0522 \end{align*}

地震發生的期望值為幾年？

透過 geometric distribution 與 exponential distribution 的轉換關係，也可將地震的分佈表達為 X∼Exp(λ)X \sim \text{Exp} (\lambda)，其中

λ=−ln⁡(1−p)≈0.0536 \begin{align*} \lambda = - \ln (1 - p) \approx 0.0536 \end{align*}

則地震發生的期望值即為各年加權，表示為

E[X]=∫0∞xf(x;λ)dx=1λ≈18.6567 \begin{align*} E [X] = \int_0^{\infty} x f (x; \lambda) dx = \frac{1}{\lambda} \approx 18.6567 \end{align*}

tt 年內發生地震機率多高？

tt 年內發生地震機率即為：

P(X≤t)=F(t;λ)=1−e−λt \begin{align*} P (X \leq t) = F (t; \lambda) = 1 - e^{-\lambda t} \end{align*}

例如 t=0.5t = 0.5 年內發生地震機率為 0.0264。驗算原式，t=30t = 30 年內發生地震機率為 0.7997 (正常些微計算誤差)。t=50t = 50 內發生地震機率為 0.9314。

tt 年內發生 nn 次地震機率有多高？

tt 年內發生 nn 次地震機率即為：

P(∑i=1nXi≤t)=FY(t;n,λ)=γ(n,λt)Γ(n) \begin{align*} P \left( \sum_{i = 1}^{n} X_i \leq t \right) = F_Y (t; n, \lambda) = \frac{\gamma (n, \lambda t)}{\Gamma (n)} \end{align*}

此問題較難以運算，可用 Gamma Distribution Calculator，例如：

  • 10 年內發生 2 次地震機率為 0.1013。
  • 30 年內發生 1 次地震機率為 0.7997 (再次驗算，正常些微計算誤差)。
  • 100 年內發生 5 次地震機率為 0.62026。

已知 tt 年內發生 nn 次地震，那 TT 年內發生 NN 次地震機率有多高？

這問題偏向統計問題，實務上並不會知道 pp，因為蒐集到的資料往往是"過去 100 年發生過 10 次地震"，而接著去推論"未來 30 年發生 2 次地震的機率有多高？"。

假設過去 tt 年發生 nn 次地震，則地震的分佈 Exp(λ)\text{Exp} (\lambda) 的 λ\lambda 並不難估計：

λ^=nt \begin{align*} \hat \lambda = \frac{n}{t} \end{align*}

那接著 TT 年發生 NN 次地震的機率即為 ：

FY(T;N,λ^)=γ(N,λ^T)Γ(N)=γ(N,nT/t)Γ(N) \begin{align*} F_Y (T; N, \hat \lambda) = \frac{\gamma (N, \hat \lambda T)}{\Gamma (N)} = \frac{\gamma (N, n T / t)}{\Gamma (N)} \end{align*}

因此"過去 100 年發生過 10 次地震，未來 30 年發生 2 次地震的機率"則可以被描述為 T=30T = 30、N=2N = 2 與 λ^=10/100=0.1\hat \lambda = 10 / 100 = 0.1，使得機率為 0.8009。

後記

這篇文章純屬用機率的角度描述"tt 年內有 pp 的機率發生某事件"，且假設事件是獨立的；然而地震是否為獨立還需驗證，且地震專家應有更多地震的線索，而非僅靠統計手段，因此這篇文章可以視為以一個純機率與統計的角度詮釋，而非以地震專家的角度描述。