複利計算機

處理存款與貸款的複利議題，分期付款到最後得還多少？定存多久才能達到目標額？在這篇一次處理掉！

2025/04/29

封面是 Bing 繪製的「錢與計算機」。

這篇文章想處理的是「考慮利息因素 $r$ 」的「定額存款或定額還款 $c$ 」的問題，簡單來說就是，令 $a_n$ 為第 $n$ 期金額， $r$ 為每期利息， $c$ 為每期的還款或存款額：

\begin{align*} a_n & = (1 + r) a_{n - 1} + c \end{align*}

接著從討論出 $a_n$ 的通式，以此推論所需期數、所需還款額等議題。

在挖掘這個議題時，發現我計算的結果與銀行業給出的結果不同，原因是銀行業給出的利息往往是年利，但還款卻是每月還，因此會有期數 $n$ 的單位究竟是年還是月的混亂問題。其正式的解決方案為，通通轉換成還款單位，例如年與月的轉換為：

\begin{align*} \text{月利息} = \frac{\text{年利息}}{12} \end{align*}

例如說，銀行的年利息是 $0.03$ ，則其月利息則是 $0.03 / 12 = 0.0025$

存款 (定存)

起始資金 $a_0$ 元，期利率 $r$ ，若每期存 $c$ 元，則第 $n$ 期時還有多少欠款？令 $a_n$ 表示第 $n$ 期存款額，則遞迴關係為

\begin{align*} a_n & = (1 + r) a_{n - 1} + c, \quad n = \contii \end{align*}

每期存款額的通式為

\begin{align*} a_n & = a_0 (1 + r)^n + c \left( \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} \right), \quad n = \contioi \end{align*}

若每期存 $c$ 元，則達到某目標額 $a_N$ 所需期數為

\begin{align*} N = \frac{\ln (a_N + c / r) - \ln (a_0 + c / r)}{\ln (1 + r)} \end{align*}

若想在 $N$ 期時達到目標額 $a_N$ ，則每期所存入數量 $c$ 為

\begin{align*} c = \frac{r \left[ a_N - a_0 (1 + r)^N \right]}{(1 + r)^N - 1} \end{align*}

每期都存 $c$ ，那 $N$ 期後有多少錢？

每期都存 $c$ 元？那需要多久才能達到目標 $a_N$ ？

連續存款了 $N$ 期，每期多要存多少才能達到目標 $a_N$ ？

貸款 $a_0$ 元，每期利率 $r$ ，若每期還 $c$ 元，則第 $n$ 期時還有多少欠款？其中一種償還方法稱為「本息平均攤還」，令 $a_n$ 表示第 $n$ 期所剩的欠款，遞迴關係為

\begin{align*} a_n & = (1 + r) a_{n - 1} - c, \quad n = \contii \end{align*}

每期所剩欠款的通式為

\begin{align*} a_n & = a_0 (1 + r)^n - c \left( \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} \right), \quad n = \contioi \end{align*}

若每期償還 $c$ ，首先得滿足 $c > a_0 r$ ，否則將連利息也還不完，所需償還期數為

\begin{align*} N = - \frac{\ln (1 - a_0 r / c)}{\ln (1 + r)} \end{align*}

若想分 $M$ 期還完，則每期還款比例 $\mu$ 與還款額 $c$ 為

\begin{align*} \mu & = \frac{r (1 + r)^{M}}{(1 + r)^{M} - 1} \\ c & = a_0 \mu \end{align*}

要求出 $a_n$ 的通式，可以用等差級數的方法處理，但這邊示範用生成函數模型 (Generating Function Model) ，令 $g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n$ ，則會有

\begin{align*} g (x) - a_0 & = \sum_{n = 1}^{\infty} a_n x^n \\ & = \sum_{n = 1}^{\infty} [(1 + r) a_{n - 1} + c] x^n \\ & = (1 + r) \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n - 1} x^n + c \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \\ & = (1 + r) x \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} + c \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \\ & = (1 + r) x g (x) + c \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \\ \end{align*}

移項後可得

\begin{align*} g (x) & = [1 - (1 + r) x]^{-1} \left( a_0 + c \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \right) \\ & = \left( \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + r)^n x^n \right) \left( a_0 + c \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \right) \\ & = \left( \sum_{n = 0}^{\infty} a_0 (1 + r)^n x^n \right) + c \left( \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + r)^n x^n \right) \left( \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \right) \end{align*}

其中的

\begin{align*} & \, \left( \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + r)^n x^n \right) \left( \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \right) \\ = & \, \left( \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + r)^n x^n \right) \left( \sum_{n = 0}^{\infty} x^n \right) x \\ = & \, \left[ \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{m = 0}^{n} (1 + r)^m \right) x^n \right] x \\ = & \, \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \frac{(1 + r)^{n + 1} - 1}{r} \right) x^{n + 1} \\ = & \, \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} \right) x^{n} \end{align*}

因此 $g (x)$ 也能被寫為

\begin{align*} g (x) & = \left( \sum_{n = 0}^{\infty} a_0 (1 + r)^n x^n \right) + c \left( \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + r)^n x^n \right) \left( \sum_{n = 1}^{\infty} x^n \right) \\ & = \left( a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_0 (1 + r)^n x^n \right) + \left[ \sum_{n = 1}^{\infty} c \left( \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} \right) x^{n} \right] \\ & = a_0 x^0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ a_0 (1 + r)^n + c \left( \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} \right) \right] x^n \end{align*}

根據設定的 $g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n$ 所對應的 $a_n$ 係數得知

\begin{align*} a_n & = a_0 (1 + r)^n + c \left( \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} \right), \quad n = \contii \end{align*}

注意到 $n = 0$ 時帶入，也同時滿足起始條件 $a_0$ 。